신뢰성 분석

통계

호재 P.B 2021. 10. 11. 22:03

신뢰성 분석에 관한 내용을 정리한 포스팅입니다 :)

신뢰성(Reliability)이란

품질과 신뢰성은 개념이 다릅니다.

제품을 생산하고 품질 체크를 한 후 이상이 없으면 최종 완제품 판정을 하고 출고를 하죠

품질은 해당 제품을 생산하는 관점이라고 하면, 신뢰성은 출고 이후 제품을 실사용하게 될 때의 관점입니다.

즉 어떤 제품이나 시스템이 규정된 사용 조건, 의도하는 기간 동안 정해진 기능을 고장 없이 수행할 수 있는가에 관한 특성입니다.

신뢰성을 측정하는 대표적인 방식은 해당 제품 or 서비스의 고장이 발생할 때까지의 시간인 고장 시간($T$)입니다

고장이 발생할 때까지의 시간($T$)는 제품의 수명을 나타내므로 해당 변수의 분포를 수명분포라고 합니다.

구분	의미	확률 표현
확률밀도함수(pdf)	$t$시점에 고장이 발생할 확률	$f(t) = P(t \leq T \leq t + dt)$
누적분포함수(cdf)	$t$ 시점 이전에 고장이 발생할 확률 (신뢰도의 반대 개념; 불신뢰도 함수라고도 칭함)	$F(t) = P(T \leq t)$
신뢰도함수	$t$ 시점 이후에 고장이 발생할 확률 ($t$시점까지 고장이 발생하지 않을 확률; 신뢰도의 개념)	$R(t) = P(T \geq t) = 1 - F(t)$

고장률은 제품이 $t$시점까지 고장나지 않았다는 조건 하에, $t$시점 직후에 고장이 발생할 확률입니다.

확률밀도함수를 누적분포함수로 나눈 것입니다.

$$\lambda(t) = \frac{P(t \leq T \leq t + dt)}{P(T \geq t)} = \frac{f(t)}{R(t)}$$

고장률은 제품 or 시스템이 시간이 지남에 따라 안정화 되는지에 따라 세 가지 형태로 나뉩니다.

대부분의 제품의 고장률은 욕조곡선(bathtub) 형태입니다

그래서 소비자가 실사용할 때 고장을 줄이기 위해, 제품 출고 전에 초기 고장 기간 동안 가동시켜서 초기 고장을 없앤 후 제품을 출고한다고 합니다.

위와 같이 고장 시간이 분포로 주어진다면, 고장이 발생할 때까지의 평균 시간을 추정할 수도 있을 것입니다.

고장에 대한 평균 시간은 해당 제품 or 시시템이 "수리 가능한지"에 따라 크게 2가지를 사용합니다.

구분	의미	비고
MTTF (Mean Time To Failure)	고장이 발생할 때까지의 평균 시간 (수리 불가능 시스템)
MTBF (Mean Time Between Failure)	고장 간 평균 시간 (수리 가능 시스템)	수리 가능 시스템의 고장은 수명분포가 아닌 포아송 프로세스를 가정

(본 포스팅에서는 수리 불가능 시스템에 초점을 맞추어 작성합니다)

$$MTTF = \int_{0}^{\infty}{t f(t)} dt$$

$B_p$ 수명이란, 전체 제품 중 p-percentile만큼의 제품이 고장 나는 시점을 의미합니다.

예를 들어, $B_1$이라고 하면 전체 제품 중 1% 가 고장나는 시점을 의미합니다.

$$F(B_p) = 0.01 * p$$

$B_p$ 수명은 제품 보증 기간을 정하거나 할 때 사용합니다.

만약, 새로운 스마트폰을 출시하였고, $B_p$ 수명을 측정해본 결과 절반의 제품이 고장나는데 걸리는 시간($B_{50}$)이 2년이라고 해봅시다.

그런데 제품보증기간(무상수리기간)을 2년으로 잡는다면, 판매한 제품의 절반 정도를 무상수리 해야하는 일이 발생할 수 있습니다. 기업 측에서는 매우 큰 타격이죠

따라서 사업의 규모, 목표에 따라 적절한 $p$(percentile) 값을 정하는 것이 중요합니다.

신뢰성의 개념과 측정 방법에 대해 알아보았습니다

피드백은 언제나 환영입니다.

감사합니다

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