가우스소거법으로 역행렬 구하기

 

 

"행 관점에서의 행렬 연산, 가우스 소거법으로 역행렬을 구하는 방법&증명 내용입니다"

 

행 관점에서의 행렬 변환

행 관점

행렬 $D,A,A^*$가 있을 때 아래 식의 의미는 "$A$ 행렬에 $D$ 연산을 하여 $A^*$ 행렬을 만든다" 입니다.

행렬 $A$에 어떤 연산 $D$를 취하여 변환한 행렬이 $A^*$ 인 것입니다

$$ DA = A^* $$

$$ (A \xrightarrow{D} A^*) $$

 

자세히 보면 $A$의 각 행을 잘 조합하여 $A^*$ 가 만들어진다는 규칙을 알 수 있습니다

1. $A$의 각 행을 재료로 하고, 이를 조합하여($D$) 행렬 $A^*$를 만듭니다
2. 변환 역할을 담당하는 행렬 $D$의 각 행의 값들이 $A^*$의 동일한 행에 영향을 미치는 것을 알 수 있습니다

예를 들면 $D$의 1행 $(a_1, a_2, a_3) = (1,3,-2)$라면 이는 $A$ 행렬의 각 행 순서대로 1, 3, -2를 곱한 후 더한 벡터를 다시 $A$ 행렬의 1행에 넣는 것으로 생각할 수 있습니다

이렇게 변환하는 행렬 $D$의 각 행의 값을 보면 행렬 $A$의 행들이 어떻게 선형결합 되는지 알 수 있습니다

 

행 관점 - 기본 세 가지

위에서 설명한 행 관점에서 행렬 변환 중 기본이 되는 세 가지 변환에 대해 설명합니다

아래의 기본 연산 하나하나는 행렬로 표현 가능합니다. 그리고 몇 차례의 연속적인 연산에 대응하는 행렬을 얻고자 한다면, 각 연산에 대응하는 행렬을 역순으로 곱하면 됩니다. 해당 포스팅에 잘 설명되어 있으니 참고하시면 좋습니다 👏

 

Row multiplication

1. 단순히 행에 곱셈을 취하는 것입니다
2. $r_3 \rightarrow 3r_3$ (3번째 행에 3을 곱하는 연산)을 수행하는 행렬은 아래와 같습니다

$$ \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & \Large{3}
\end{pmatrix} $$

 

Row addition

1. 행 끼리 더하여 특정 행에 넣어주는 연산입니다
2. $r_3 \rightarrow r_2 + r_3$ (3번째 행에 3번째 행과 2번째 행을 더한 벡터를 넣는 연산)을 수행하는 행렬은 아래와 같습니다

$$ \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & \Large{1} & \Large{1}
\end{pmatrix} $$ 

1. 더 나아가 위의 row mutiplication과 조합하여 생각해보면 아래와 같은 연산을 생각해볼 수 있습니다
2. $r_3 \rightarrow -5r_2 + r_3$ (3번째 행에 3번째 행에 2번째 행에 5를 곱한 값을 빼준 벡터를 넣는 연산)을 수행하는 행렬은 아래와 같습니다

$$ \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & \Large{-5} & \Large{1}
\end{pmatrix} $$ 

 

Row switching

1. 행의 순서를 바꾸는 연산입니다
2. $r_1 \rightarrow r_3, r_3 \rightarrow r_1$ (3번째 행과 1번째 행의 순서를 바꾸는 연산)을 수행하는 행렬은 아래와 같습니다

$$ \begin{pmatrix}
0 & 0 & \Large{1} \\
0 & 1 & 0 \\
\Large{1} & 0& 0
\end{pmatrix} $$ 

 

이렇게 보면 각 변환에 대한 이해가 어렵습니다. 일반화하여 각 변환을 이해하면 아래와 같습니다

row multiplication, row addition, row switching 변환을 하는 행렬 $D$가 행렬 $A$를 $A^*$로 변환한다고 합시다

$$ DA = A* $$

1. $A$의 각 행을 $D$의 행의 값들로 조합하여 $A^*$를 만듭니다
2. 이 때 $D$의 n번째 행의 값들로 조합하여 $A^*$의 n번째 행을 만듭니다

예를 들면, $A,D,A^*$가 모두 3*3 행렬이고 $D$의 2번째 행이 $(1,4,-5)$ 이면 $A^*$의 2번째 행은 $A$의 각 행에 순서대로 1,4,-5를 곱한 후 합한 값입니다

 

가우스 소거법으로 역행렬 구하기

가우스 소거법

가우스 소거법은 특정 행렬 $A$의 행 간 연산을 통해 다른 행렬을 만드는 방법입니다. 위에서 말씀드린 row addition, row multiplication, row switching 방법을 사용합니다

그리고 위에서 설명드린 것과 같이 이러한 연산은 행렬로 표현 가능하기 때문에 행렬 곱으로 가우스 소거법을 표현할 수 있습니다 

역행렬 구하기

행렬 $A$의 역행렬이 존재한다고 가정할 때, 이를 가우스 소거법으로 구해보겠습니다

$$A^{-1} A= I$$ 

가우스 소거법을 이용하여 역행렬을 구하는 방법 아래와 같습니다

1. 행렬 $A$와 $I$를 행 기준으로 concatenate 한 행렬을 만든다
   1. $$ (A | I) $$
2. 가우스 소거법을 이용하여 행렬 $(A | I)$에서 행렬 $A$를 $I$로 만든다
   1. $$(A | I) \rightarrow (I | I^*)$$
3. 이 때, 행렬 $I^*$가 행렬 $A$의 역행렬이다 
   1. 참고) 가우스 소거법은 행 기준으로 연산을 하므로 해당 연산을 수행하여 $A$가 $I$로 변환되는 결과와 $I$가 $I^*$로 변환되는 결과는 변함이 없기 때문에 $(A | I)$로 행 기준으로 concatenate한 후 한번에 연산해도 된다 

증명

$I^*$가 $A^{-1}$임을 증명해봅니다

위의 행 관점에서 변환에서 설명하였듯이 이러한 변환은 행렬 곱으로 표현할 수 있습니다.

$A$를 가우시안 소거법에 의해 $I$로 변환하는 행렬을 $G$ 라고 하면 아래와 같이 표현할 수 있습니다

$$ G (A | I) = (I | I^*) \\ (A | I) \xrightarrow{G} (I | I^*) $$

가우시안 소거법은 각 행에만 영향을 미치므로 아래와 같이 적을 수 있습니다

$$ G A = I \tag{1} $$

$$ G I = I^* \tag{2} $$

(2)번 식의 양변에 행렬 $A$를 곱하면 

$$ G I A = I^* A \tag{3} $$

이 때 (3)의 좌변을 살펴보면 $G I A = G A = I$ 이므로 

$$ I = I^* A \tag{4} $$

즉, $A$에 $I^*$행렬을 곱하면 단위 행렬이 되므로 $I^*$는 $A$의 역행렬이 됩니다.

가우시안 소거법에 의해 역행렬을 구하는 방법에 대한 증명이었습니다

 

Reference

• https://angeloyeo.github.io/2021/06/15/elementary_square_matrices.html
• https://angeloyeo.github.io/2021/06/16/LU_decomposition.html
• https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%82%AC%EB%8B%A4%EB%A6%AC%EA%BC%B4%ED%96%89%EB%A0%AC
• https://bskyvision.com/entry/%EC%84%A0%ED%98%95%EB%8C%80%EC%88%98%ED%95%99-%ED%96%89%EB%A0%ACA%EC%99%80-%ED%96%89%EB%A0%ACB%EC%9D%98-%EA%B3%B1%EC%9D%84-%EB%B0%94%EB%9D%BC%EB%B3%B4%EB%8A%94-%EC%84%B8-%EA%B0%80%EC%A7%80-%EA%B4%80%EC%A0%90

마치며

행 관점에서의 행렬 변환에 대한 내용과 가우스 소거법을 이용한 역행렬을 구하는 법에 대해 정리해보았습니다.

긴 글 읽어주셔서 감사합니다

 

▼ 글이 도움이 되셨다면 아래 클릭 한번 부탁드립니다 :) ▼