Always awake,

선형대수를 공부하다보면 행렬 곱을 다양한 관점으로 해석하여 기하학적으로 이해하는 부분이 많습니다. 그래서 본 포스팅에서는 행렬 곱을 바라보는 관점을 정리하고, 어떤 경우에 해당 관점으로 보는지 정리해보았습니다 :) 이해의 용이성을 위해 3*3 정사각행렬의 곱으로 이야기를 진행하겠습니다 $$ A B = C $$ notation 규칙인 다음과 같이 하겠습니다 $\vec{r}$은 행 벡터를 의미하고, $\vec{c}$는 열 벡터를 의미합니다 각 벡터의 아랫 첨자는 두 개의 문자의 조합이며, 첫 번째 문자는 행렬을 의미하고 두 번째 문자는 인덱스를 의미합니다 $\vec{r}_{A2}$는 $A$ 행렬의 2번째 행 벡터를 의미합니다 1. 요소 관점 - 행 벡터와 열 벡터의 내적 가장 기본적인 방법은 $A$의 행 벡..

"현재 인과추론 패키지 개발 업무 중 거리 기반 매칭 기능을 조사하며 얻은 지식을 정리하였습니다 :) 마할라노비스 거리를 구하는 방법에 대해 기술합니다" 마할라노비스 거리 $n$개의 샘플이 있고, 각 샘플은 $k$차원 공간(feature의 수)의 벡터로 표현된다고 합시다 그리고 임의의 두 개의 샘플에 대한 $1 \times k$ 형태의 행 벡터가 $\vec{v} = (v_1, v_2, ..., v_{k-1}, v_k)$과 $\vec{u} = (u_1, u_2, ..., u_{k-1}, u_k)$일 때 마할라노비스 거리의 정의는 아래와 같습니다 $$ mahalanobis(\vec{v}, \vec{u}) = \sqrt{(\vec{v} - \vec{u}) {\sum}^{-1} (\vec{v} - \vec{u}..

"행 관점에서의 행렬 연산, 가우스 소거법으로 역행렬을 구하는 방법&증명 내용입니다" 행 관점에서의 행렬 변환 행 관점 행렬 $D,A,A^*$가 있을 때 아래 식의 의미는 "$A$ 행렬에 $D$ 연산을 하여 $A^*$ 행렬을 만든다" 입니다. 행렬 $A$에 어떤 연산 $D$를 취하여 변환한 행렬이 $A^*$ 인 것입니다 $$ DA = A^* $$ $$ (A \xrightarrow{D} A^*) $$ 자세히 보면 $A$의 각 행을 잘 조합하여 $A^*$ 가 만들어진다는 규칙을 알 수 있습니다 $A$의 각 행을 재료로 하고, 이를 조합하여($D$) 행렬 $A^*$를 만듭니다 변환 역할을 담당하는 행렬 $D$의 각 행의 값들이 $A^*$의 동일한 행에 영향을 미치는 것을 알 수 있습니다 예를 들면 $D$의 1..

팀원분께서 두 벡터의 correlation이 갖는 기하학적 의미에 대해 공유해주신 내용을 공부하여 정리해보았습니다 :) (팀원분께 무한한 감사를! 👍) 사전 지식 correlation을 기하학적으로 이해하기 위해서는 벡터의 사영(projection)에 대한 이해가 필요합니다 (Orthogonal 벡터 만들기 참고) 두 벡터 $\vec{u} = (u_1, u_2, ..., u_n)$, $\vec{v} = (v_1, v_2, ..., v_n)$가 주어져 있고, 두 벡터의 각도가 $\theta$일 때, 정리1. 두 벡터 $\vec{u}$, $\vec{v}$가 이루는 각도 $\theta$의 코사인 값은 아래와 같다 $$ cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}..

저번 포스팅에서 2차원 공간에서 두 벡터를 orthogonal하게 만드는 방법에 대해 알아보았습니다. (orthogonal : 두 벡터가 수직(직교)) 2022.03.02 - [통계] - Orthogonal 벡터 만들기 요약하면 아래와 같습니다 기존에 벡터 $v_1$이 있을 때 linearly independent한 벡터 $v_2$를 추가하여 $v_1$과 orthogonal한 벡터를 어떻게 만들까? $v_2$을 $v_1$에 사영한 벡터 $v_2^\prime$에서 $v_2$로 향하는 벡터가 바로 $v_1$과 orthogonal한 벡터이다! $v_2- v_2^\prime = v_2 - \frac{v_1 \cdot v_2}{v_1 \cdot v_1} v_1$ 이번에는 3차원 공간, 더 나아가서 4차원 이상인 ..

orthogonal 개념 두 벡터가 "orthogonal하다"라는 것은 수직이라는 의미입니다. 두 벡터의 내적은 아래와 같으므로, orthogonal 한 두 벡터의 내적 값은 0 ($cos(\theta) = 0$)이 됩니다. $$ u \cdot v = |u| |v| cos(\theta) $$ orthogonal한 벡터 만들기 하나의 벡터 $u$가 주어져 있고, 여기에 orthogonal하지 않은 벡터 $v$를 추가한다고 합시다 그리고 추가한 벡터 $v$로 기존에 있던 $u$와 orthogonal한 벡터를 만들고 싶다면 어떻게 하면 좋을까요? 이 두 개의 벡터 $u$, $v$를 이용하여 $u$에 orthogonal한 새로운 벡터를 만들 수 있습니다! 아래와 같이 2차원 평면에 $u = [3,1]$가 있고,..